Нужно ли согласие родителей на брак?

Сразу главное: решает не согласие родителей на словах, а официальная процедура, и она зависит от региона и возраста.

До достижения совершеннолетия брак в большинстве случаев возможен только через официальное снижение брачного возраста, для этого нужно обращаться не к маме или бабушке за устным разрешением, а в орган местного самоуправления или уполномоченную инстанцию по месту жительства. Основанием обычно служит уважительная причина, конкретный перечень причин и минимальный порог возраста отличаются от региона к региону, где-то это возможно с более раннего возраста при особых обстоятельствах, где-то условия строже. Устное согласие или несогласие родителей само по себе не имеет процедурного веса, юридическое значение имеет решение уполномоченного органа, оформленное официально.

Важно: точную процедуру, список документов и текущие требования для вашего возраста и региона стоит уточнить непосредственно в загсе по месту прописки или у семейного юриста, потому что практика отличается даже между соседними городами, а сроки рассмотрения такого обращения могут занять несколько недель. Пока этот вопрос не решён официально, домашние споры о том, кто прав, мама или бабушка, смысла не имеют, потому что финальное слово в любом случае не за ними. Отдельно стоит обсудить это именно с будущим мужем и его семьёй, чтобы у обеих сторон было одинаковое понимание сроков и не возникло ощущения, что кто-то тянет время специально.

у моей подруги отказали, сказали причина не уважительная, так и осталась ждать 18летия

а зачем вообще торопиться, доучись сначала, штамп никуда не убежит

Тут решает не мама и не бабушка, а официальная процедура снижения брачного возраста, она есть почти везде, но условия разные по регионам. Пример: где-то нужна уважительная причина и разрешение местной администрации, где-то порог ниже, где-то выше. Дом порешать не получится, идите в загс и спрашивайте там, а не у родни.